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    2015高考真題——數學理(湖南卷)Word版含答案

    2020-04-03 11:54:47


    2015年普通高等學校招生全國統一考試(湖南卷)(理科)
    本試題包括選擇題,填空題和解答題三部分,共6頁,時間120分鐘,滿分150分.
    一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,賊每小題給出的四個選項中,只有一項是復合題目要求的.
    1.已知(為虛數單位),則復數=(    )
    A.         B.      C.      D.

    2.設A,B是兩個集合,則""是""的(    )
    A.充分不必要條件         B.必要不充分條件
    C.充要條件               D.既不充分也不必要條件

    3.執行如圖1所示的程序框圖,如果輸入,則輸出的(    )
    A.      B.      C.        D.

    4.若變量滿足約束條件,則的最小值為(    )
    A.-7          B.-1          C.1         D.2

    5.設函數,則是(    )
    A.奇函數,且在上是增函數   B. 奇函數,且在上是減函數
    C. 偶函數,且在上是增函數   D. 偶函數,且在上是減函數

    6.已知的展開式中含的項的系數為30,則(    )
    A.      B.      C.6       D-6

    7.在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為(    )
    A.2386       B.2718     C.3413     D.4772

    8.已知點A,B,C在圓上運動,且.若點P的坐標為(2,0),則的最大值為(    )
    A.6     B.7     C.8       D.9

    9.將函數的圖像向右平移個單位后得到函數的圖像,若對滿足的,有,則(    )
    A.    B.     C.     D.

    10.某工件的三視圖如圖3所示,現將該工件通過切割,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內,則原工件材料的利用率為(材料利用率=)(     )
    A.     B.      C.       D.

    二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
    11.         .
    12.在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖4所示.
    若將運動員按成績由好到差編為號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是                .
    13.設F是雙曲線C:的一個焦點,若C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點,則C的離心率為         .
    14.設為等比數列的前項和,若,且成等差數列,則      .
    15.已知,若存在實數,使函數有兩個零點,則a的取值范圍是           .
    三、解答題
    16.(Ⅰ)如圖,在圓O中,相交于點E的兩弦AB、CD的中點分別是M、N,直線MO與直線CD相交于點F,證明:
    (1);
    (2)

    (Ⅱ)已知直線(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
    (1) 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;
    (2) 設點M的直角坐標為,直線與曲線C 的交點為A,B,求的值.
    (Ⅲ)設,且.
    (1);
    (2)與不可能同時成立.
    17.設的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,且B為鈍角》
    (1)證明:
    (2)求的取值范圍
    18.某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.
    (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;
    (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望.
    19.如圖,已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,,且底面ABCD,點P、Q分別在棱、BC上.
    (1)若P是的中點,證明:;
    (2)若PQ//平面,二面角P-QD-A的余弦值為,求四面體ADPQ的體積.

    20.已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.
    (1)求的方程;
    (2)過點F的直線與相交于A、B兩點,與相交于C、D兩點,且與同向
    (。┤簦求直線的斜率
    ()設在點A處的切線與x軸的交點為M,證明:直線繞點F旋轉時,總是鈍角三角形
    21.已知,函數. 記為的從小到大的第n個極值點,證明:
    (1)數列是等比數列
    (2)若,則對一切,恒成立. 
    一、 
    選擇題,每小題5分,滿分50分.
    (1)D            (2)C            (3)B           (4)A           (5)A    
    (6)D            (7)C            (8)B           (9)D           (10)A
    二、 填空題,每小題5分,滿分25分.
    (11)0      (12)4      (13)    (14)    (15)()()
    三、解答題滿分75分
    16、證明(I)如圖a所示, 
                                
         因為M,N分別是弦AB,CD的中點,
       所以OMAB,ONCD,
       即OME=, O=,OME+O =。
       又四邊形的內角和等于,故+NOM=.
    (II)由(I)知,O,M,E,N四點共圓,故由割線定理即得


    17、解(I)由a=btA及正弦定理,得,所以sB=cosA,即
                             sB=s(+A).
    又B為鈍角,因此+A(,A),故B=+A,即B-A=.
    (II)由(I)知,C=-(A+B)=-(2A+)=-2A>0,所以A,
    于是
                         sA+sC=sA+s(-2A)
                       = sA+cos2A=-2A+sA+1
                       =-2(sA-)+
    因為0               <-2
    由此可知sA+sC的取值范圍是(,].


    18、(I)記事件={從甲箱中摸出的1個球是紅球}
           ={從乙箱中摸出的1個球是紅球}
            = {顧客抽獎1次獲一等獎}={顧客抽獎1次獲二等獎}     
                   C={顧客抽獎1次能獲獎}.
                   由題意,與相互獨立,與互斥,與互斥,且
                                 =,=+,C=+.
    因P()==,P()==,所以
                   P()=P()=P()P()==,
                   P()=P(+)=P()+P()
                           =P()(1- P())+(1- P())P()
                           =(1-)+(1-)=
                   故所求概率為
                   P(C)= P(+)=P()+ P()=+=.
    (II)顧客抽獎3次獨立重復試驗,由(I)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B(3,).
    于是 
                    P(X=0)==
                    P(X=1)==
                    P(X=2)==
                    P(X=3)==
    故X的分布列為
    X 0 1 2 3 P
    X的數學期望為
                     E(X)=3=.




    19、解法一  由題設知,,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD, 所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖b所示的空間直角坐標系,則相關各點的坐標為
    A(0,0,0)    (3,0,6)    D(0,6,0)      (0,3,6)   Q(6,m,0),其中m=BQ,
    。
    (I) 若P是的中點,則P(0,,3),=(3,0 ,6),
    于是=18-18=0,所以,即.
    (II) 由題設知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD內的兩個不共線向量.
     設=(x,y,z)是平面PQD的一個法向量,則,即
                     
     取y=6,得=(,6,3).又平面AQD的一個法向量是=(0,0,1),所以
         cos<,>==.
     而二面角P-QD-A的余弦值為,因此=,
     解得m=4,或者m=8(舍去),此時Q(6,4,0)
     設=(0<1),而=(0,-3,6),由此得點P(0,6-3,6),
     =(6,3-2,-6).
     因為PQ//平面,且平面的一個法向量是=(0,1,0),所以=0,即3-2=0,亦即=,從而P(0,4,4)
     于是,將四面體ADPQ視為以△ADQ為底面的三棱錐P-ADQ,則其高h=4,
     故四面體ADPQ的體積
              .
     解法二   (I)如圖c,取的中點R,連結PR,BR,因為,是梯形的兩腰,P是的中點,所以PR//AD,于是由AD//BC知,PR//BC,
     所以P,R,B,C四點共面.
     由題設知,BCAB,BC,所以BC平面,因此
                                BC.                            ○1
     因為t====t,所以t=t,因此
                       ==,
    于是BR,再由○1即知平面PRBC,又PQ平面PRBC,故PQ.

    (II)如圖d,過點P作PM//交AD于點M,則
                                  PM//平面.
    因為平面ABCD,所以OM平面ABCD,過點M作QD于點N,連結PN,則PNQD,為二面角P-QD-A的平面角,所以cos=,
    即=,從而
                   .                 ○3
    連結MQ,由PQ//平面,所以MQ//AB,又ABCD是正方形,所以ABQM為矩形,故MQ=AB=6.
    設MD=t,則
                        ==.          ○4
    過點作交AD于點E,則為矩形,所以==6,AE==3,
    因此ED=AD-AE=3,于是,所以PM=D=2t,
    再由○3○4得=,解得t=2,因此PM=4.故四面體ADPQ的體積                      .


    20、解(I)由:知其焦點F的坐標為(0,1),因為F也是橢圓的一焦點,
    所以
                                                             ○1
    又與的公共弦的長為2,與都關于y軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點的坐標為(),所以
                                                           ○2
    聯立○1,○2得=9,=8,故的方程為
                                            ○3
    (II)如圖,設A()B()C()D().
    (i)因與同向,且=,所以=,從而=,即
    =,于是
                      -4= -4                  ○3
    設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
    由得+16kx-64=0.而,是這個方程的兩根.所以
               =4k,=-4                               ○4 
    由得(9+8)+16kx-64=0.而,是這個方程的兩根.所以
                         =-,=-.                   ○5
    將○4○5帶入○3 ,得16(+1)=+,即
                               16(+1)=,
    所以=,解得k=,即直線l的斜率為.

    (ii)由得=,所以在點A處的切線方程為y-=(x-),即
                                    y=-.
    令y=0得x=,即M(,0),所以=(,-1).而=().于是
                               =-=+1>0,
    因此是銳角,從而是鈍角.
    故直線l繞點F旋轉時,△MFD總是鈍角三角形.



    21、證明:(I)
                       
                       
    其中t=,0<<.
    令=0,由x得x+=mx,   即x=-,m.
    對,若2k0;
    若(2k+1)因此,在區間((m-1),m-)與(m-,m)上,的符號總相反.于是
    當x= m-(m)時,取得極值,所以
                             .
    此時,易知0,而
                       
    是常數,故數列是首項為=,公比為的等比數列
    (II)由(I)知,=,于是對一切,<||恒成立,即
     恒成立,等價于
                                             ()
    恒成立(因為a>0)
    設g(t)=(t)0),則.令=0得t=1
    當0當t>1時,,所以g(t)在區間(0,1)上單調遞增.
    從而當t=1時,函數g(t)取得最小值g(1)=e
    因此,要是()式恒成立,只需,即只需.
    而當a=時,t==且.于是
    ,且當n時,.因此對一切
    ,,所以g().故()式亦恒成立.
    綜上所述,若a,則對一切,恒成立.
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