2015高考真題——數學理（湖南卷）Word版含答案
2020-04-03 11:54:47
2015年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）（理科）
本試題包括選擇題，填空題和解答題三部分，共6頁，時間120分鐘，滿分150分.
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，賊每小題給出的四個選項中，只有一項是復合題目要求的.
1.已知（為虛數單位），則復數=（ ）
A. B. C. D.
2.設A,B是兩個集合，則""是""的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.執行如圖1所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的( )
A. B. C. D.
4.若變量滿足約束條件，則的最小值為（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.設函數，則是（ ）
A.奇函數，且在上是增函數 B. 奇函數，且在上是減函數
C. 偶函數，且在上是增函數 D. 偶函數，且在上是減函數
6.已知的展開式中含的項的系數為30，則（ ）
A. B. C.6 D-6
7.在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N(0,1)的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知點A,B,C在圓上運動，且.若點P的坐標為（2,0），則的最大值為（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.將函數的圖像向右平移個單位后得到函數的圖像，若對滿足的，有，則（ ）
A. B. C. D.
10.某工件的三視圖如圖3所示，現將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11. .
12.在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖4所示.
若將運動員按成績由好到差編為號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是 .
13.設F是雙曲線C：的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為 .
14.設為等比數列的前項和，若，且成等差數列，則 .
15.已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則a的取值范圍是 .
三、解答題
16.(Ⅰ)如圖，在圓O中，相交于點E的兩弦AB、CD的中點分別是M、N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：
（1）；
（2）
（Ⅱ）已知直線（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.
（1） 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2） 設點M的直角坐標為，直線與曲線C 的交點為A，B，求的值.
（Ⅲ）設，且.
（1）；
（2）與不可能同時成立.
17.設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且B為鈍角》
(1)證明：
（2）求的取值范圍
18.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望.
19.如圖，已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面ABCD，點P、Q分別在棱、BC上.
（1）若P是的中點，證明：；
（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值為，求四面體ADPQ的體積.
20.已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.
（1）求的方程；
（2）過點F的直線與相交于A、B兩點，與相交于C、D兩點，且與同向
（。┤簦求直線的斜率
（）設在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線繞點F旋轉時，總是鈍角三角形
21.已知，函數. 記為的從小到大的第n個極值點,證明：
（1）數列是等比數列
（2）若，則對一切，恒成立.
一、
選擇題，每小題5分，滿分50分.
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A
（6）D （7）C （8）B （9）D （10）A
二、 填空題，每小題5分，滿分25分.
(11)0 (12)4 (13) (14) （15）（）（）
三、解答題滿分75分
16、證明（I）如圖a所示，
因為M，N分別是弦AB,CD的中點，
所以OMAB,ONCD,
即OME=， O=，OME+O =。
又四邊形的內角和等于，故+NOM=.
（II）由（I）知，O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得
17、解（I）由a=btA及正弦定理，得,所以sB=cosA，即
sB=s（+A）.
又B為鈍角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=.
(II)由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，
于是
sA+sC=sA+s（-2A）
= sA+cos2A=-2A+sA+1
=-2（sA-）+
因為0 <-2
由此可知sA+sC的取值范圍是（，].
18、（I）記事件=｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝
=｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝
= ｛顧客抽獎1次獲一等獎｝=｛顧客抽獎1次獲二等獎｝
C=｛顧客抽獎1次能獲獎｝.
由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且
=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以
P（）=P()=P()P()==，
P（）=P（+）=P（）+P（）
=P（）(1- P())+(1- P（）)P()
=(1-)+(1-)=
故所求概率為
P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.
（II）顧客抽獎3次獨立重復試驗，由（I）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X~B（3，）.
于是
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
故X的分布列為
X 0 1 2 3 P
X的數學期望為
E（X）=3=.
19、解法一 由題設知，,AB,AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD, 所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖b所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為
A(0,0,0) (3，0，6) D(0，6，0) (0，3，6) Q(6，m,0)，其中m=BQ，
。
(I) 若P是的中點，則P（0,，3），=(3,0 ,6),
于是=18-18=0，所以，即.
(II) 由題設知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD內的兩個不共線向量.
設=（x，y，z）是平面PQD的一個法向量，則，即
取y=6，得=（，6,3）.又平面AQD的一個法向量是=（0，0，1），所以
cos<,>==.
而二面角P-QD-A的余弦值為，因此=，
解得m=4，或者m=8（舍去），此時Q（6,4,0）
設=(0<1),而=（0，-3,6），由此得點P（0,6-3，6），
=（6，3-2，-6）.
因為PQ//平面,且平面的一個法向量是=（0,1,0），所以=0，即3-2=0，亦即=，從而P（0,4,4）
于是，將四面體ADPQ視為以△ADQ為底面的三棱錐P-ADQ，則其高h=4，
故四面體ADPQ的體積
.
解法二 （I）如圖c，取的中點R，連結PR,BR,因為，是梯形的兩腰，P是的中點，所以PR//AD，于是由AD//BC知，PR//BC,
所以P,R,B,C四點共面.
由題設知，BCAB,BC,所以BC平面,因此
BC. ○1
因為t====t,所以t=t，因此
==，
于是BR，再由○1即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.
（II）如圖d，過點P作PM//交AD于點M，則
PM//平面.
因為平面ABCD，所以OM平面ABCD,過點M作QD于點N，連結PN，則PNQD，為二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，
即=,從而
. ○3
連結MQ，由PQ//平面，所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM為矩形，故MQ=AB=6.
設MD=t，則
==. ○4
過點作交AD于點E，則為矩形，所以==6，AE==3，
因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=D=2t，
再由○3○4得=，解得t=2，因此PM=4.故四面體ADPQ的體積 .
20、解（I）由:知其焦點F的坐標為（0,1），因為F也是橢圓的一焦點，
所以
○1
又與的公共弦的長為2，與都關于y軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為（），所以
○2
聯立○1，○2得=9，=8，故的方程為
○3
（II）如圖，設A（）B（）C（）D（）.
（i）因與同向，且=,所以=，從而=，即
=，于是
-4= -4 ○3
設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1.
由得+16kx-64=0.而，是這個方程的兩根.所以
=4k，=-4 ○4
由得（9+8）+16kx-64=0.而，是這個方程的兩根.所以
=-，=-. ○5
將○4○5帶入○3 ，得16（+1）=+,即
16（+1）=，
所以=，解得k=，即直線l的斜率為.
（ii）由得=，所以在點A處的切線方程為y-=（x-），即
y=-.
令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是
=-=+1>0，
因此是銳角，從而是鈍角.
故直線l繞點F旋轉時，△MFD總是鈍角三角形.
21、證明：（I）
其中t=，0<<.
令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.
對，若2k0；
若（2k+1）因此，在區間（（m-1），m-）與（m-，m）上，的符號總相反.于是
當x= m-(m)時，取得極值，所以
.
此時，易知0，而
是常數，故數列是首項為=，公比為的等比數列
（II）由（I）知，=，于是對一切,<||恒成立，即
恒成立，等價于
（）
恒成立（因為a>0）
設g（t）=（t）0），則.令=0得t=1
當0當t>1時，，所以g（t）在區間（0,1）上單調遞增.
從而當t=1時，函數g（t）取得最小值g（1）=e
因此，要是（）式恒成立，只需，即只需.
而當a=時，t==且.于是
，且當n時，.因此對一切
,，所以g（）.故（）式亦恒成立.
綜上所述，若a，則對一切，恒成立.
本試題包括選擇題，填空題和解答題三部分，共6頁，時間120分鐘，滿分150分.
一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，賊每小題給出的四個選項中，只有一項是復合題目要求的.
1.已知（為虛數單位），則復數=（ ）
A. B. C. D.
2.設A,B是兩個集合，則""是""的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.執行如圖1所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的( )
A. B. C. D.
4.若變量滿足約束條件，則的最小值為（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.設函數，則是（ ）
A.奇函數，且在上是增函數 B. 奇函數，且在上是減函數
C. 偶函數，且在上是增函數 D. 偶函數，且在上是減函數
6.已知的展開式中含的項的系數為30，則（ ）
A. B. C.6 D-6
7.在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態分布N(0,1)的密度曲線）的點的個數的估計值為（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知點A,B,C在圓上運動，且.若點P的坐標為（2,0），則的最大值為（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.將函數的圖像向右平移個單位后得到函數的圖像，若對滿足的，有，則（ ）
A. B. C. D.
10.某工件的三視圖如圖3所示，現將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11. .
12.在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖4所示.
若將運動員按成績由好到差編為號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是 .
13.設F是雙曲線C：的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為 .
14.設為等比數列的前項和，若，且成等差數列，則 .
15.已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則a的取值范圍是 .
三、解答題
16.(Ⅰ)如圖，在圓O中，相交于點E的兩弦AB、CD的中點分別是M、N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：
（1）；
（2）
（Ⅱ）已知直線（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.
（1） 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2） 設點M的直角坐標為，直線與曲線C 的交點為A，B，求的值.
（Ⅲ）設，且.
（1）；
（2）與不可能同時成立.
17.設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且B為鈍角》
(1)證明：
（2）求的取值范圍
18.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望.
19.如圖，已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面ABCD，點P、Q分別在棱、BC上.
（1）若P是的中點，證明：；
（2）若PQ//平面，二面角P-QD-A的余弦值為，求四面體ADPQ的體積.
20.已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.
（1）求的方程；
（2）過點F的直線與相交于A、B兩點，與相交于C、D兩點，且與同向
（。┤簦求直線的斜率
（）設在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線繞點F旋轉時，總是鈍角三角形
21.已知，函數. 記為的從小到大的第n個極值點,證明：
（1）數列是等比數列
（2）若，則對一切，恒成立.
一、
選擇題，每小題5分，滿分50分.
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A
（6）D （7）C （8）B （9）D （10）A
二、 填空題，每小題5分，滿分25分.
(11)0 (12)4 (13) (14) （15）（）（）
三、解答題滿分75分
16、證明（I）如圖a所示，
因為M，N分別是弦AB,CD的中點，
所以OMAB,ONCD,
即OME=， O=，OME+O =。
又四邊形的內角和等于，故+NOM=.
（II）由（I）知，O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得
17、解（I）由a=btA及正弦定理，得,所以sB=cosA，即
sB=s（+A）.
又B為鈍角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=.
(II)由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，
于是
sA+sC=sA+s（-2A）
= sA+cos2A=-2A+sA+1
=-2（sA-）+
因為0
由此可知sA+sC的取值范圍是（，].
18、（I）記事件=｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝
=｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝
= ｛顧客抽獎1次獲一等獎｝=｛顧客抽獎1次獲二等獎｝
C=｛顧客抽獎1次能獲獎｝.
由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且
=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以
P（）=P()=P()P()==，
P（）=P（+）=P（）+P（）
=P（）(1- P())+(1- P（）)P()
=(1-)+(1-)=
故所求概率為
P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.
（II）顧客抽獎3次獨立重復試驗，由（I）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X~B（3，）.
于是
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
故X的分布列為
X 0 1 2 3 P
X的數學期望為
E（X）=3=.
19、解法一 由題設知，,AB,AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD, 所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖b所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為
A(0,0,0) (3，0，6) D(0，6，0) (0，3，6) Q(6，m,0)，其中m=BQ，
。
(I) 若P是的中點，則P（0,，3），=(3,0 ,6),
于是=18-18=0，所以，即.
(II) 由題設知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD內的兩個不共線向量.
設=（x，y，z）是平面PQD的一個法向量，則，即
取y=6，得=（，6,3）.又平面AQD的一個法向量是=（0，0，1），所以
cos<,>==.
而二面角P-QD-A的余弦值為，因此=，
解得m=4，或者m=8（舍去），此時Q（6,4,0）
設=(0<1),而=（0，-3,6），由此得點P（0,6-3，6），
=（6，3-2，-6）.
因為PQ//平面,且平面的一個法向量是=（0,1,0），所以=0，即3-2=0，亦即=，從而P（0,4,4）
于是，將四面體ADPQ視為以△ADQ為底面的三棱錐P-ADQ，則其高h=4，
故四面體ADPQ的體積
.
解法二 （I）如圖c，取的中點R，連結PR,BR,因為，是梯形的兩腰，P是的中點，所以PR//AD，于是由AD//BC知，PR//BC,
所以P,R,B,C四點共面.
由題設知，BCAB,BC,所以BC平面,因此
BC. ○1
因為t====t,所以t=t，因此
==，
于是BR，再由○1即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.
（II）如圖d，過點P作PM//交AD于點M，則
PM//平面.
因為平面ABCD，所以OM平面ABCD,過點M作QD于點N，連結PN，則PNQD，為二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，
即=,從而
. ○3
連結MQ，由PQ//平面，所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM為矩形，故MQ=AB=6.
設MD=t，則
==. ○4
過點作交AD于點E，則為矩形，所以==6，AE==3，
因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=D=2t，
再由○3○4得=，解得t=2，因此PM=4.故四面體ADPQ的體積 .
20、解（I）由:知其焦點F的坐標為（0,1），因為F也是橢圓的一焦點，
所以
○1
又與的公共弦的長為2，與都關于y軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為（），所以
○2
聯立○1，○2得=9，=8，故的方程為
○3
（II）如圖，設A（）B（）C（）D（）.
（i）因與同向，且=,所以=，從而=，即
=，于是
-4= -4 ○3
設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1.
由得+16kx-64=0.而，是這個方程的兩根.所以
=4k，=-4 ○4
由得（9+8）+16kx-64=0.而，是這個方程的兩根.所以
=-，=-. ○5
將○4○5帶入○3 ，得16（+1）=+,即
16（+1）=，
所以=，解得k=，即直線l的斜率為.
（ii）由得=，所以在點A處的切線方程為y-=（x-），即
y=-.
令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是
=-=+1>0，
因此是銳角，從而是鈍角.
故直線l繞點F旋轉時，△MFD總是鈍角三角形.
21、證明：（I）
其中t=，0<<.
令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.
對，若2k
若（2k+1）
當x= m-(m)時，取得極值，所以
.
此時，易知0，而
是常數，故數列是首項為=，公比為的等比數列
（II）由（I）知，=，于是對一切,<||恒成立，即
恒成立，等價于
（）
恒成立（因為a>0）
設g（t）=（t）0），則.令=0得t=1
當0
從而當t=1時，函數g（t）取得最小值g（1）=e
因此，要是（）式恒成立，只需，即只需.
而當a=時，t==且.于是
，且當n時，.因此對一切
,，所以g（）.故（）式亦恒成立.
綜上所述，若a，則對一切，恒成立.
