2014年高考真題——理科數學（江西卷）解析版1 Word版含答案
2020-04-02 02:56:10
2014年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
數學（理科）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 是的共軛復數. 若，（（為虛數單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以選D。
2. 函數的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以選C.
3. 已知函數，，若，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】
所以選A。
4. 在中，內角A,B,C所對應的邊分別為，若則的面積（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以選C。
5. 一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（ ）
【答案】B
【解析】俯視圖為在底面上的投影，易知選：B
6. 某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，澤宇性別有關聯的可能性最大的變量是（ ）
A.成績 B.視力 C.智商 D.閱讀量
【答案】D
【解析】根據獨立性檢驗相關分析知，閱讀量與性別相關數據較大，選D
7. 閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】，，選B
8.若則（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】設，則，
，所以.
9.在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原點O到直線的距離為，則，點C到直線的距離是圓的半徑，由題意知C是AB的中點，又以斜邊為直徑的圓過三個頂點，則在直角中三角形中，圓C過原點O，即，圓C的軌跡為拋物線，O為焦點，為準線，所以，，所以選A。
10. 如右圖，在長方體中，=11，=7，=12，一質點從頂點A射向點，遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將次到第次反射點之間的線段記為，，將線段豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（ ）
【答案】C
【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),，,,
......
二.選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分，本題共5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
11(1).（不等式選做題）對任意,的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
11(2).（坐標系與參數方程選做題）若以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段的極坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以選A。
三. 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
12.10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________.
【答案】
【解析】
13.若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標是________.
【答案】
【解析】
14. 已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=
【答案】
【解析】
15.過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為
【答案】
【解析】
三.簡答題
16.已知函數，其中
（1）當時，求在區間上的最大值與最小值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）,
.....................................................................3分
，..................................................................4分
；.....................................................................6分
(2)
又，................................................7分
，................................................8分
................................................10分
，又，所以..................12分
17、（本小題滿分12分）
已知首項都是1的兩個數列（），滿足.
(1) 令，求數列的通項公式；
(2) 若，求數列的前n項和.
【解析】（1）
同時除以，得到............................................................2分
即：............................................................3分
所以，是首項為，公差為2的等差數列.......................................4分
所以，............................................................5分
(2) ，.............................................6分
...........................9分
兩式相減得：
.....................11分
.....................12分
18、（本小題滿分12分）
已知函數.
(1) 當時，求的極值；
(2) 若在區間上單調遞增，求b的取值范圍.
【解析】1）當時，的定義域為
令，解得
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
所以，當時，取得極小值；當時，取得極大值。
?。?） 在上單調遞增且不恒等于0對x恒成立........................7分
..........................................8分
..........................................10分
..........................................11分
..........................................12分
19(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.
（1） 求證：
（2） 若問為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面與平面夾角的余弦值.
【解析】
解：（1）面面,面面=,
面..........................................2分
又面..........................................3分
..........................................4分
(2) 過P作,由（1）有面ABCD,
作,連接PM，作..........................................5分
設AB=x.
...7分
當即時，..........................................9分
如圖建立空間直角坐標系，,,
,
,,
,..........................................10分
設面、面的法向量分別為，
設，則，
同理可得..........................................11分
平面與平面夾角的余弦值為。.......................................12分
20. （本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線的右焦點,點分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標原點）.
（1） 求雙曲線的方程；
（2） 過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明點在上移動時，恒為定值，并求此定值
【答案】（1） （2）
【解析】(1)A(),B()
且，即， ................................. 4分
即.............................................................................. 6分
（2） A(2，)，，F（2,0），
M(2，)，N(，)......................................................... 9分
................................................................................. 13分
21. （滿分14分）隨機將這個連續正整數分成A,B兩組，每組n個數，A組最小數為，最大數為；B組最小數為，最大數為，記
（1） 當時，求的分布列和數學期望；
（2） 令C表示事件與的取值恰好相等，求事件C發生的概率；
對（2）中的事件C,表示C的對立事件，判斷和的大小關系，并說明理由。
【解析】（1）隨機變量的取值所有可能是：2，3，4，5
；
的分布列為：
2 3 4 5 所以，的數學期望為
2）事件與的取值恰好相等的基本事件：
共
時，
3）因為，所以要比較與的大小，實際上要比較與的大小， 由可知，
當時，
當時，
數學（理科）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 是的共軛復數. 若，（（為虛數單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
所以選D。
2. 函數的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以選C.
3. 已知函數，，若，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】
所以選A。
4. 在中，內角A,B,C所對應的邊分別為，若則的面積（ ）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
所以選C。
5. 一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（ ）
【答案】B
【解析】俯視圖為在底面上的投影，易知選：B
6. 某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，澤宇性別有關聯的可能性最大的變量是（ ）
A.成績 B.視力 C.智商 D.閱讀量
【答案】D
【解析】根據獨立性檢驗相關分析知，閱讀量與性別相關數據較大，選D
7. 閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為（ ）
A.7 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】，，選B
8.若則（ ）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】設，則，
，所以.
9.在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原點O到直線的距離為，則，點C到直線的距離是圓的半徑，由題意知C是AB的中點，又以斜邊為直徑的圓過三個頂點，則在直角中三角形中，圓C過原點O，即，圓C的軌跡為拋物線，O為焦點，為準線，所以，，所以選A。
10. 如右圖，在長方體中，=11，=7，=12，一質點從頂點A射向點，遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將次到第次反射點之間的線段記為，，將線段豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（ ）
【答案】C
【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),，,,
......
二.選做題：請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第一題評閱計分，本題共5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
11(1).（不等式選做題）對任意,的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
11(2).（坐標系與參數方程選做題）若以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段的極坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以選A。
三. 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
12.10件產品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________.
【答案】
【解析】
13.若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標是________.
【答案】
【解析】
14. 已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=
【答案】
【解析】
15.過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為
【答案】
【解析】
三.簡答題
16.已知函數，其中
（1）當時，求在區間上的最大值與最小值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）,
.....................................................................3分
，..................................................................4分
；.....................................................................6分
(2)
又，................................................7分
，................................................8分
................................................10分
，又，所以..................12分
17、（本小題滿分12分）
已知首項都是1的兩個數列（），滿足.
(1) 令，求數列的通項公式；
(2) 若，求數列的前n項和.
【解析】（1）
同時除以，得到............................................................2分
即：............................................................3分
所以，是首項為，公差為2的等差數列.......................................4分
所以，............................................................5分
(2) ，.............................................6分
...........................9分
兩式相減得：
.....................11分
.....................12分
18、（本小題滿分12分）
已知函數.
(1) 當時，求的極值；
(2) 若在區間上單調遞增，求b的取值范圍.
【解析】1）當時，的定義域為
令，解得
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增；
所以，當時，取得極小值；當時，取得極大值。
?。?） 在上單調遞增且不恒等于0對x恒成立........................7分
..........................................8分
..........................................10分
..........................................11分
..........................................12分
19(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.
（1） 求證：
（2） 若問為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面與平面夾角的余弦值.
【解析】
解：（1）面面,面面=,
面..........................................2分
又面..........................................3分
..........................................4分
(2) 過P作,由（1）有面ABCD,
作,連接PM，作..........................................5分
設AB=x.
...7分
當即時，..........................................9分
如圖建立空間直角坐標系，,,
,
,,
,..........................................10分
設面、面的法向量分別為，
設，則，
同理可得..........................................11分
平面與平面夾角的余弦值為。.......................................12分
20. （本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線的右焦點,點分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標原點）.
（1） 求雙曲線的方程；
（2） 過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明點在上移動時，恒為定值，并求此定值
【答案】（1） （2）
【解析】(1)A(),B()
且，即， ................................. 4分
即.............................................................................. 6分
（2） A(2，)，，F（2,0），
M(2，)，N(，)......................................................... 9分
................................................................................. 13分
21. （滿分14分）隨機將這個連續正整數分成A,B兩組，每組n個數，A組最小數為，最大數為；B組最小數為，最大數為，記
（1） 當時，求的分布列和數學期望；
（2） 令C表示事件與的取值恰好相等，求事件C發生的概率；
對（2）中的事件C,表示C的對立事件，判斷和的大小關系，并說明理由。
【解析】（1）隨機變量的取值所有可能是：2，3，4，5
；
的分布列為：
2 3 4 5 所以，的數學期望為
2）事件與的取值恰好相等的基本事件：
共
時，
3）因為，所以要比較與的大小，實際上要比較與的大小， 由可知，
當時，
當時，
