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    2019年全國卷Ⅲ理數高考試題(Word版,含答案)

    2020-04-16 11:11:51


    絕密★啟用前
    2019年普通高等學校招生全國統一考試
    理科數學
    注意事項:
      1.答卷前,考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。
      2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
      3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。
    一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
    1.已知集合,則
    A. B. C. D.
    2.若,則z=
    A.  B. C. D.
    3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況,隨機調查了100學生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位,則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
     A.0.5   B.0.6  C.0.7 D.0.8
    4.(1+2x2 )(1+x)4的展開式中x3的系數為
    A.12 B.16 C.20      D.24
    5.已知各項均為正數的等比數列{}的前4項為和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=
    A. 16 B. 8 C.4     D. 2
    6.已知曲線在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則
    A.  B.a=e,b=1 C.  D. ,
    7.函數在的圖象大致為
    A. B.
    C. D.
    8.如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則

    A.=,且直線、 是相交直線
    B.≠,且直線, 是相交直線
    C.=,且直線、 是異面直線
    D.≠,且直線, 是異面直線
    9.執行下邊的程序框圖,如果輸入的為0.01,則輸出的值等于

    A. B.  C.  D. 
    10.雙曲線C:=1的右焦點為F,點P在C的一條漸進線上,O為坐標原點,若,則△PFO的面積為
    A. B. C. D.
    11.設是定義域為R的偶函數,且在單調遞減,則
      A.(log3)>()>()  
      B.(log3)>()>()
      C.()>()>(log3) 
      D.()>()>(log3)
    12.設函數=s()(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論:
     ?、僭冢ǎ┯星覂H有3個極大值點
     ?、谠冢ǎ┯星覂H有2個極小值點
     ?、墼冢ǎ﹩握{遞增
     ?、艿娜≈捣秶荹)
      其中所有正確結論的編號是
      A. ①④    B. ②③     C. ①②③     D. ①③④
    二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
    13.已知a,b為單位向量,且a·b=0,若,則___________.
    14.記Sn為等差數列{}的前n項和,,則___________.
    15.設為橢圓C:的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形,則M的坐標為___________.
    16.學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,,3D打印所用原料密度為0.9 g/3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為___________.

    三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據要求作答。
    (一)必考題:共60分。
    17.(12分)
    為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A、B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖:

    記C為事件:"乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5",根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.
    (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;
    (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).
    18.(12分)
    △ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知.
    (1)求B;
    (2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.
    19.(12分)
      圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結DG,如圖2.
     ?。?)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
     ?。?)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.


    20.(12分)
    已知函數.
    (1)討論的單調性;
    (2)是否存在 ,使得在區間的最小值為且最大值為1?若存在,求出的所有值;若不存在,說明理由.
    21.已知曲線C:y=,D為直線y=上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.
    (1)證明:直線AB過定點:
    (2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.
    (二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。
    22.[選修4-4:坐標系與參數方程](10分)
    如圖,在極坐標系Ox中,,,,,弧,,所在圓的圓心分別是,,,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.
    (1)分別寫出,,的極坐標方程;
    (2)曲線由,,構成,若點在M上,且,求P的極坐標.

    23.[選修4-5:不等式選講](10分)
    設,且.
    (1)求的最小值;
    (2)若成立,證明:或.
    2019年普通高等學校招生全國統一考試
    理科數學·參考答案
    一、選擇題
    1.A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.D
    二、填空題
    13. 14.4 15. 16.118.8
    三、解答題
    17.解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
    b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
    (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為
    2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
    乙離子殘留百分比的平均值的估計值為
    3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
    18.解:(1)由題設及正弦定理得.
    因為sA0,所以.
    由,可得,故.
    因為,故,因此B=60°.
    (2)由題設及(1)知△ABC的面積.
    由正弦定理得.
    由于△ABC為銳角三角形,故0°因此,△ABC面積的取值范圍是.
    19.解:(1)由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.
    由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.
    又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.
    (2)作EHBC,垂足為H.因為EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.
    由已知,菱形BCGE的邊長為2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=.
    以H為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz,

    則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).
    設平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),則

    所以可取n=(3,6,-).
    又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0),所以.
    因此二面角B-CG-A的大小為30°.
    20. 解:(1).
    令,得x=0或.
    若a>0,則當時,;當時,.故在單調遞增,在單調遞減;
    若a=0,在單調遞增;
    若a<0,則當時,;當時,.故在單調遞增,在單調遞減.
    (2)滿足題設條件的a,b存在.
    (i)當a≤0時,由(1)知,在[0,1]單調遞增,所以在區間[0,l]的最小值為,最大值為.此時a,b滿足題設條件當且僅當,,即a=0,.
    (ii)當a≥3時,由(1)知,在[0,1]單調遞減,所以在區間[0,1]的最大值為,最小值為.此時a,b滿足題設條件當且僅當,b=1,即a=4,b=1.
    (iii)當0若,b=1,則,與0若,,則或或a=0,與0綜上,當且僅當a=0,或a=4,b=1時,在[0,1]的最小值為-1,最大值為1.
    21.解:(1)設,則.
      由于,所以切線DA的斜率為,故 .
      整理得 
      設,同理可得.
      故直線AB的方程為.
      所以直線AB過定點.
     ?。?)由(1)得直線AB的方程為.
      由,可得.
      于是,
      .
      設分別為點D,E到直線AB的距離,則.
      因此,四邊形ADBE的面積.
      設M為線段AB的中點,則.
    由于,而,與向量平行,所以.解得t=0或.
      當=0時,S=3;當時,.
      因此,四邊形ADBE的面積為3或.
    22.解:(1)由題設可得,弧所在圓的極坐標方程分別為,,.
    所以的極坐標方程為,的極坐標方程為,的極坐標方程為.
    (2)設,由題設及(1)知
    若,則,解得;
    若,則,解得或;
    若,則,解得.
    綜上,P的極坐標為或或或.
    23.解:(1)由于

    ,
    故由已知得,
    當且僅當x=,y=-,時等號成立.
    所以的最小值為.
    (2)由于


    ,
    故由已知,
    當且僅當,,時等號成立.
    因此的最小值為.
    由題設知,解得或.










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