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    2019年高考北京文數真題試卷(解析版)

    2020-03-14 06:15:43


    2019年普通高等學校招生全國統一考試
    數  學(文)(北京卷)
      本試卷共5頁,150分??荚嚂r長120分鐘??忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上,在試卷上作答無效??荚嚱Y束后,將本試卷和答題卡一并交回。
    第一部分(選擇題   共40分)
    一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。
    (1)已知集合A={x|-11},則A∪B=
    (A)(-1,1) (B)(1,2) (C)(-1,+∞) (D)(1,+∞)
    (2)已知復數z=2+i,則
    (A) (B) (C)3 (D)5
    (3)下列函數中,在區間(0,+)上單調遞增的是
    (A) (B)y= (C) (D)
    (4)執行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為

    (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
    (5)已知雙曲線(a>0)的離心率是,則a=
    (A) (B)4 (C)2 (D)
    (6)設函數f(x)=cosx+bsx(b為常數),則"b=0"是"f(x)為偶函數"的
    (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
    (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
    (7)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為的星的亮度為(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為
    (A)1010.1  (B)10.1 (C)lg10.1    (D)
    (8)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,是銳角,大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為

    (A)4β+4cosβ (B)4β+4sβ (C)2β+2cosβ (D)2β+2sβ
       第二部分(非選擇題    共110分)
    二、填空題共6小題,每小題5分,共30分。
    (9)已知向量=(-4,3),=(6,m),且,則m=__________.
    (10)若x,y滿足 則的最小值為__________,最大值為__________.
    (11)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為__________.
    (12)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為__________.

    (13)已知l,m是平面外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:
    ①l⊥m;②m∥;③l⊥.
    以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個正確的命題:__________.
    (14)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
    ①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
    ②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________.
    三、解答題共6小題,共80分。解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程。
    (15)(本小題13分)
    在△ABC中,a=3,,cosB=.
    (Ⅰ)求b,c的值;
    (Ⅱ)求s(B+C)的值.
    (16)(本小題13分)
    設{}是等差數列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數列.
    (Ⅰ)求{}的通項公式;
    (Ⅱ)記{}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.
    (17)(本小題12分)
    改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:
           支付金額
    支付方式 不大于2 000元 大于2 000元
    僅使用A 27人 3人 僅使用B 24人 1人 (Ⅰ)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數;
    (Ⅱ)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2 000元的概率;
    (Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發現他本月的支付金額大于2 000元.結合(Ⅱ)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2 000元的人數有變化?說明理由.
    (18)(本小題14分)
    如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點.
    (Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC;
    (Ⅱ)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;
    (Ⅲ)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由.

    (19)(本小題14分)
    已知橢圓的右焦點為,且經過點.
    (Ⅰ)求橢圓C的方程;
    (Ⅱ)設O為原點,直線與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,若|O·|ON|=2,求證:直線l經過定點.
    (20)(本小題14分)
    已知函數.
    (Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;
    (Ⅱ)當時,求證:;
    (Ⅲ)設,記在區間上的最大值為M(a),當M(a)最小時,求a的值.




    2019年普通高等學校招生全國統一考試
       數學(文)(北京卷)參考答案
    一、選擇題(共8小題,每小題5分,共40分)
    (1)C (2)D (3)A (4)B
    (5)D (6)C (7)A (8)B
    二、填空題(共6小題,每小題5分,共30分)
    (9)8 (10)-3    1
    (11) (12)40
    (13)若,則.(答案不唯一)
    (14)130    15
    三、解答題(共6小題,共80分)
    (15)(共13分)
    解:(Ⅰ)由余弦定理,得

    因為,
    所以.
    解得.
    所以.
    (Ⅱ)由得.
    由正弦定理得.
    在中,.
    所以.
    (16)(共13分)
    解:(Ⅰ)設的公差為.
    因為,
    所以.
    因為成等比數列,
    所以.
    所以.
    解得.
    所以.
    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
    所以,當時,;當時,.
    所以,的最小值為.
    (17)(共12分)
    解:(Ⅰ)由題知,樣本中僅使用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,
    A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.
    故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.
    估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數為.
    (Ⅱ)記事件C為"從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2 000元",則.
    (Ⅲ)記事件E為"從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2 000元".
    假設樣本僅使用B的學生中,本月支付金額大于2 000元的人數沒有變化,則由(II)知,=0.04.
    答案示例1:可以認為有變化.理由如下:
    比較小,概率比較小的事件一般不容易發生,一旦發生,就有理由認為本月支付金額大于2 000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.
    答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:
    事件E是隨機事件,比較小,一般不容易發生,但還是有可能發生的.所以無法確定有沒有變化.
    (18)(共14分)
         解:(Ⅰ)因為平面ABCD,
    所以.
    又因為底面ABCD為菱形,
    所以.
    所以平面PAC.

         (Ⅱ)因為PA⊥平面ABCD,平面ABCD,
    所以PA⊥AE.
    因為底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,且E為CD的中點,
    所以AE⊥CD.
    所以AB⊥AE.
    所以AE⊥平面PAB.
    所以平面PAB⊥平面PAE.
    (Ⅲ)棱PB上存在點F,使得CF∥平面PAE.
    取F為PB的中點,取G為PA的中點,連結CF,FG,EG.
    則FG∥AB,且FG=AB.
    因為底面ABCD為菱形,且E為CD的中點,
    所以CE∥AB,且CE=AB.
    所以FG∥CE,且FG=CE.
    所以四邊形CEGF為平行四邊形.
    所以CF∥EG.
    因為CF平面PAE,EG平面PAE,
    所以CF∥平面PAE.
    (19)(共14分)
    解:(I)由題意得,b2=1,c=1.
    所以a2=b2+c2=2.
    所以橢圓C的方程為.
    (Ⅱ)設P(x1,y1),Q(x2,y2),
    則直線AP的方程為.
    令y=0,得點M的橫坐標.
    又,從而.
    同理,.
    由得.
    則,.
    所以



    又,
    所以.
    解得t=0,所以直線l經過定點(0,0).
    (20)(共14分)
    解:(Ⅰ)由得.
    令,即,得或.
    又,,
    所以曲線的斜率為1的切線方程是與,
    即與.
    (Ⅱ)令.
    由得.
    令得或.
    的情況如下:
    所以的最小值為,最大值為.
    故,即.
    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,
    當時,;
    當時,;
    當時,.
    綜上,當最小時,.








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